MATHÉMATIQUES
Étude de fonction
Objectif : comprendre les notions de fonction
Sommaire:
1. Définition de la notion de fonction:
- Une fonction est une règle mathématique qui associe chaque élément d’un ensemble de départ (appelé domaine) à un unique élément d’un ensemble d’arrivée (appelé codomaine).
Exemple : f(x) = 2x + 3, où x est un nombre réel. Cette fonction associe chaque valeur de x à une seule valeur de f(x) selon la règle de la formule mathématique. Par exemple, si x = 4, alors f(4) = 2(4) + 3 = 11. Ainsi, cette fonction associe la valeur de 4 à la valeur de 11. Les valeurs de x pour lesquelles la fonction est définie forment le domaine de la fonction, qui dans ce cas est l’ensemble des nombres réels. Les valeurs de f(x) que la fonction peut prendre forment le codomaine, qui dans ce cas est également l’ensemble des nombres réels.
- La notion de fonction est un concept fondamental en mathématiques, qui permet de modéliser les relations entre les variables et de résoudre des problèmes dans de nombreux domaines.
2. Fonctions avec expressions algébrique :
Une fonction est comme une machine qui prend un nombre en entrée et qui renvoie un autre nombre en sortie. Cette machine suit une règle mathématique précise, que l’on peut exprimer avec une formule algébrique.
Exemple : On prend la fonction f(x) = x + 2, cela signifie que pour chaque valeur de x que l’on introduit dans la fonction, on lui ajoute 2 pour obtenir la valeur de f(x). Ainsi, si l’on introduit la valeur x = 3 dans la fonction f(x), la machine va renvoyer la valeur f(3) = 3 + 2 = 5. La fonction peut prendre différents types de formules mathématiques, comme des fonctions linéaires, quadratiques, exponentielles, etc.
3. Fonctions avec un tableau de valeurs :
Une fonction peut également être définie avec un tableau de valeurs, où chaque ligne représente une paire de valeurs associant une entrée à sa sortie correspondante.
Exemple : soit la fonction f définie par le tableau suivant :
| x | f(x) |
| 1 | 4 |
| 2 | 6 |
| 3 | 8 |
Ce tableau signifie que lorsque x vaut 1, f(x) vaut 4 ; lorsque x vaut 2, f(x) vaut 6 ; et lorsque x vaut 3, f(x) vaut 8. On peut ainsi représenter graphiquement les points (1,4), (2,6) et (3,8) sur un plan cartésien pour visualiser la fonction. Le domaine de cette fonction est {1,2,3} et son codomaine est {4,6,8}.
4. Fonctions avec une courbe :
Une courbe peut représenter graphiquement une fonction. Elle permet de visualiser les valeurs que prend la fonction pour chaque élément de l’ensemble de définition. Les axes du plan cartésien représentent les deux ensembles et les points de la courbe représentent les paires d’éléments correspondants.
La courbe peut également être utilisée pour déterminer le comportement de la fonction, comme ses variations, ses points d’intersection avec les axes, ses asymptotes, etc.
Exemple :
Ici, les deux ensembles sont l’axe des ordonnées: [ -3 ; 3 ] et l’axe des abscisses: [ -5 ; 3 ]. Le point qui a pour coordonnées ( -2 ; 2 ) représente une paire d’éléments correspondant .
5. Parité d’une fonction :
DÉFINITION : On dit que f est :
- pair lorsque pour tout x I, f( x ) = f( -x )
- impair lorsque pour tout x I, f( -x ) = -f( x )
f est pair si et seulement si, Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
f est impair si et seulement si, Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère .
Exemple: la courbe représentative d’une fonction f sur l’intervalle 0 ; 2 est représenté
on souhaite compléter la courbe f sur l’intervalle -2 ; 2 pour que la fonction soit :
- paire
- impaire
En bleu est représenté la partie manquante pour que la fonction soit paire, on peut voir que la partie bleu est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
En rouge est représenté la partie manquante pour que la fonction soit impaire, on peut voir que la partie rouge est symétrique par rapport à l’origine du repère.