MATHÉMATIQUES
Variation et Extremum d’une fonction
Objectif : étudier les variations et extrema d’une fonctions
Sommaire :
- Fonction croissante, décroissante et monotone
- Tableau de variation
- Extremum
1. Fonction croissante, décroissante et monotone
Définitions :
Une fonction f définie sur un intervalle I est dite :
| Croissante sur I si pour tout x1, x2 de I avec x1 < x2, on a f(x1) ≤ f(x2). |  |
| Décroissante sur I si pour tout x1, x2 de I avec x1 < x2, on a f(x1) ≥ f(x2).Dans le schéma, x1 = u et x2 = v |  |
| Monotone sur I si elle est soit croissante, soit décroissante sur I. Elle ne change pas de sens de variation. | |
| Constante sur I si pour tout x1, x2 de I, on a f(x1) = f(x2). |  |
2. Tableau de Variations
Le tableau de variation est un tableau qui regroupe les informations suivantes :
- Les variations de la fonction f en fonction de x sur son ensemble de définition
- Les valeurs particulières
Le tableau de variation se présente comme cela :
Ici, on peut voir les variations de la fonction f représentée par les flèches, les valeurs particulières de f qui sont 5 ; 8 et -4 ainsi que celles de x qui sont -6 ; 2 ; 10.
La courbe débute au point -6 de l’abscisse et se termine au point 10 de l’abscisse.
Son domaine de définition est alors [-6 ; 10 ]
3. Extremum d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 ∈ I.
x0 est un maximum global si f(x) ≤ f(x0) pour tout x ∈ I.
x0 est un minimum global si f(x) ≥ f(x0) pour tout x ∈ I.
Sur cette courbe, le point du minimum est C et le point du maximum est D
