Chapitre 5 : Les vecteurs

Mathématiques

Les vecteurs

Objectif: Comprendre les vecteurs 

1. Configuration et repérage dans le plan :

Dans le plan, il existe deux systèmes de coordonnées couramment utilisés : le système cartésien et le système polaire. Dans le système cartésien, chaque point est repéré par ses coordonnées (x, y) par rapport à deux axes perpendiculaires, l’axe des x (abscisse) et l’axe des y (ordonnée).

La distance entre deux points A(x1, y1) et B(x2, y2) peut être calculée à l’aide de la formule de la distance :

.

Les vecteurs peuvent être utilisés pour déterminer des propriétés géométriques importantes, telles que les distances entre les points, les angles, ou encore les aires des triangles formés par ces points.

Exercice :

1. Trouvez la distance entre les points A(3, -1) et B(6, 4).

2. Introduction aux vecteurs :

Les vecteurs sont des entités mathématiques ayant à la fois une direction, une norme (ou longueur) et un sens. Ils peuvent être représentés par des flèches dans le plan. Soit A et B deux points, le vecteur AB est noté comme . Les propriétés fondamentales des vecteurs incluent l’associativité, la commutativité et la distributivité pour les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire.

Opérations sur les vecteurs :

– Addition :

– Soustraction :

– Multiplication par un scalaire k :

La norme d’un vecteur, notée , est la distance entre les points A et B. La direction d’un vecteur est l’angle qu’il forme avec l’axe x positif.

Exercice :

1. Trouvez la somme des vecteurs et .

2. Calculez la norme du vecteur .

3. Soit . Trouvez un vecteur colinéaire à dont la norme est 3.

3. La colinéarité :

Deux vecteurs et sont colinéaires s’ils ont la même direction ou des directions opposées. En d’autres termes, ils sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre. Mathématiquement, et sont colinéaires si pour un scalaire k.

Pour déterminer la colinéarité entre deux vecteurs, on peut utiliser leurs coordonnées. Si et , alors et sont colinéaires si et seulement si .

La colinéarité est utile pour résoudre divers problèmes géométriques, tels que la recherche de droites parallèles ou identiques, ou pour étudier les propriétés de certaines figures.

Exercice :

1. Vérifiez si les vecteurs et sont colinéaires.

2. Trouvez le scalaire k pour que et soient colinéaires.

4. Équation de droite :

Une droite dans le plan peut être représentée par son équation cartésienne, qui est de la forme , où a, b et c sont des constantes. Les coefficients a et b déterminent la direction de la droite, et c influence sa position par rapport à l’origine.

Pour déterminer l’équation d’une droite, on peut utiliser différentes méthodes :

– À partir de deux points connus sur la droite : déterminer la pente et utiliser l’un des points pour trouver c.

– À partir d’un point et d’un vecteur directeur de la droite.

– À partir de la pente et de l’ordonnée à l’origine.

Les équations de droites sont couramment utilisées pour résoudre des problèmes de géométrie et de physique.

Exercice :

1. Trouvez l’équation de la droite passant par les points E(2, 3) et F(4, -1).

2. Déterminez l’équation de la droite parallèle à la droite d’équation et passant par le point G(1, -4).

5.Formules :

1. Vecteurs :

   – Addition de deux vecteurs et :

   – Soustraction de deux vecteurs et :

   – Multiplication d’un vecteur par un scalaire k :

   – Norme (longueur) d’un vecteur :

2. Équation cartésienne de la droite :

   Une droite dans le plan est représentée par l’équation cartésienne , où a, b et c sont des constantes. Le vecteur directeur d’une droite d’équation cartésienne est donné par .

3. Équation réduite de la droite :

   L’équation réduite d’une droite est de la forme , où m est la pente de la droite et p est l’ordonnée à l’origine. Un vecteur directeur pour l’équation réduite de la droite est donné par .

Exercices :

1. Calcul de vecteurs :

   Soient et .

   a) Calculez .

   b) Trouvez

2. Équations cartésiennes de droites :

   a) Trouver l’équation cartésienne de la droite passant par les points A(2, 1) et B(3, -4).

   b) Trouvez l’équation cartésienne de la droite parallèle à et passant par le point C(1, -3).

   c) Déterminez le vecteur directeur de la droite d’équation .

3. Équations réduites de droites :

   a) Trouver l’équation réduite de la droite passant par les points D(1, 2) et E(4, 8).

   b) Trouvez l’équation réduite de la droite parallèle à et passant par le point F(3, -1).

   c) Déterminez le vecteur directeur de l’équation réduite de la droite .